f x 0 когда

 

 

 

 

На рисунке изображен график функции yf(x), определенной на интервале (3 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Определение 1. График функции yf(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции. Определение возрастающей функции. Функция yf(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Исследование функции с помощью производной. Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x0) > f(x). Производная f(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если . Более подробно это расшифровывается следующим образомПример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 0) конечен, а f(x0 0) равен . Использование математической модели вида у f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной. В учебниках по математическому анализу значительное внимание уделяется приемам вычисления пределов функций и последовательностей. Существуют готовые правила и методы, применяя которые, можно с легкостью решать даже относительно сложные задачи на пределы. х1 - функция возрастает, значит производная f(x) >0.

х7 - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f(x) 0. Видим, что f(x) 0 в точках х2, х5 и х7, итого 3 точки. Ответ: 3. 4. Четность. Функция f(x) называется четной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) f(x) Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек Например функция y x3 не имеет экстремума, т.к.

не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х 0. Число A называется пределом функции yf(x) в пункте x0, когда для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех x, которые удовлетворяют неравенству выполняется неравенство Запомнить когда производная любой функции равна нулю легко если обратится к такому простому понятию как скорость. Из физики известно что скорость - это первая производная пути по времени. В простых случаях можно обойтись без чертежа и записать только аналитические выводы. Найдённые интервалы знакопостоянства говорят нам о том, где график функции расположен выше оси OX ( f (x) > 0) , а где ниже данной оси ( f (x) < 0) . Достаточные признаки монотонности функции. Если f ( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале. Как определить нули функции аналитически и по графику? Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю. Чтобы найти нули функции, заданной формулой y f(x), надо решить уравнение f(x)0. Функция yf(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех xx0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0. Производная функции yf(x) в точке xx0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке. Используя этот факт, запишем уравнение касательной в точке xx0 y — f(x0) f(x0)(x — x0). Напомним, что в точке x0 функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) f (x0) (минимум) или f (x) f (x0) (максимум). 6.2. Определение непрерывности функции. При рассмотрении предела функции f(x), x X, в точке x0 случай, когда x0 X, представляет особый интерес - он приводит к понятию непрерывной функции. Если x0 X и существует предел f(x), то он равен f(x0) Итак, функция (1) непрерывна в точке x 0 при > 0 и только при них. 2) Поскольку в окрестности точки x 0 функция f (x) задана различными выражениями, будем исследовать существование производной в этой точке по определению. Если f(x) непрерывна на отрезке [а b] и на интервале (а b) выполняется неравенство f(x) 0 и при этом равенство f(x) 0 справедливо только в конечном числе точек интервала (a b), то функция f(x) возрастает на отрезке [а b]. Рассмотрим график возрастающей функции y f (x) (рис. 6) и возьмём две близкие точки графика: точку A с координатами ( x0, f (x0)) и точку B с координатами (x0 x, f (x0 x)). Полагаем, что функция f (x) дифференцируема в точке A. Решение. Касательная к функции f(x) в точке x0 является прямой, которая задается уравнением y f(x0)(x-x0)f(x0) По условию, касательная параллельна прямой y-2x -5. Такая вот задачка в Самостоятельной работе С-44. Применение производной для исследования функции на экстремум. Завтра будем писать в классе. Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения Если вторая производная функции f(x), т.е. f(x), в некоторой точке x0 обращается в нуль, а при переходе через эту точку меняет знак, то точка M( x0, f(x0)) является точкой перегиба графика функции. Производная функции одной переменной. Пусть функция y f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку).производной функции y f(x) в точке x0 и обозначается символом f (x0), т.е. 2). Существует f(x0) - по т. Ферма f(x0)0. Замечание: данные условия не являются достаточными. Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) то у0 f(x0) называют максимумом функции у f(x)и обозначают через max f(x) (рис.17.1).Пусть х0 точка экстремума дифференцируемой функции f(x). Для определённости положим, что х 0 точка максимума. Когда отрицательно - убывает. В вашем примере угловой коэффициент равен 17, значит, функция возрастает. f(x)0, когда 17x-510. Решив уравнение, получим x3. 5) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) f(x) Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение: . Графически это означает что точка с абсциссой x0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции yf(x). Пределы (Интуитивное введение). Задача с касательной Дана функция f(x) и точка P( x0, y0) на графике этой функции. Найдите уравнение прямой, касательной к графику функции в точке P. Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х 0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0). 2) если функция f(х) дважды дифференцируема на промежутке X, то она выпукла вниз, когда ее вторая производная f(х) неотрицательна на этом промежутке: f(x)> 0, и выпукла вверх, когда ее вторая производная f(х) неположительна: f"(x) < 0. Это легко запомнить Задания - решение. 1 На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (55). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Пусть дана функция y f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х 0 и новое х. Разности Dх х-х0 и D y f(x)-f(x0) y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х 0. Когда это число положительно, линейная функция возрастает. Когда отрицательно - убывает. В вашем примере угловой коэффициент равен 17, значит, функция возрастает. f(x)0, когда 17x-510. Решив уравнение, получим x3. На рисунке изображен график функции y f(x), определённой на интервале (-112). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. 36. Что означает в математике запись у f(x). Правила. В предыдущих темах мы изучили функции y kx m и y x 2 . Зависимую переменную y принято заменять записями f(x) или p(x) . Функция имеет производную в точке [math]x0[/math] тогда и только тогда, когда [math] f-(x0)f(x0)[/math] или [math]limDelta x to 0-0fracf(x0Delta x) - f(x0)Delta x limDelta x to 00fracf(x0 Например, дана функция f(x) х2 4 (икс в квадрате минус четыре) Приравниваем к нулю: х2 4 0 А теперь решаем как квадратное уравнение, находим х (первое) - 2, х (второе) 2 При этих значениях х функция y f(x) 0. Это можно сделать и графически. Поэтому мы ограничимся лишь ее геометрической иллюстрацией. Производная функции у f (x) при х х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции у f (x) в точке с абсциссой х . Условие f (x) > 0 означает Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y f(x). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y f(x). Определение 2.

Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A. 3) функция yf(x) имеет критические точки, где производная f (x)0 или не существует (но это верно только для внутренних точек области определения, то есть точки на концах области определения не рассматриваем) Согласно теореме 2.1(критерию существования предела), существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f(x00) и f(x00) и эти пределы равны между собой. Функция yf(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех xx0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0.

Новое на сайте:


Оставьте свой комментарий.

Поделитесь своим мнением или опытом. Помогите другим!

*

*